[ad_1]
Przedstawiamy konstrukcję standardowych kodów Reeda-Mullera (RM) wspomaganych splątaniem (EA) kubitów i ich wariantów iloczynu tensorowego z klasycznych kodów RM. Pokazujemy, że kody EA RM otrzymane przy użyciu konstrukcji CSS mają zerową szybkość kodowania i ujemną szybkość katalityczną. Następnie pokazujemy, że kody EA skonstruowane z tych samych klasycznych kodów RM przy użyciu konstrukcji tensorowego kodu iloczynowego (TPC) mają dodatnią szybkość kodowania i zapewniają podklasę EA RM TPC, które mają dodatnią szybkość katalityczną, ustanawiając w ten sposób kodowy analog superaddytywności dla tej rodziny kodów, przydatny w komunikacji kwantowej. Uogólniamy również tę analizę, aby uzyskać warunki dla EA TPC z klasycznych kodów, aby miały dodatnią szybkość katalityczną, gdy odpowiadające im kody EA CSS mają zerową szybkość.
Zjawisko superaddytywności przepustowości kanału kwantowego obejmujące dwa kanały kwantowe o zerowej przepustowości, które osiągają dodatnią przepustowość kwantową, nie ma klasycznego uzasadnienia. Analogia tego zjawiska w kodowaniu została po raz pierwszy zademonstrowana dla kwantowych kodów CSS. Dwa klasyczne kody indywidualnie dające kody kwantowe o zerowej przepustowości zostały połączone w celu uzyskania kodu kwantowego o dodatniej przepustowości przy użyciu konstrukcji kwantowego iloczynu tensorowego. Niniejsze badanie pokazuje ponadto, że analog kodowania superaddytywności ma zastosowanie do konstruowania kodów kwantowych z dobrze zbadanych kodów Reeda-Mullera, które indywidualnie dają kody kwantowe o zerowej szybkości. Przedstawiono warunki obserwacji tego zjawiska w przypadku kodów polarnych i innych kodów klasycznych. Nasze odkrycia umożliwiają konstrukcję wielu algebraicznych kodów kwantowych o dobrych właściwościach, przydatnych w komunikacji kwantowej.
[1] P. W. Shor, „Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory”, Phys. Rev. A, vol. 52, pp. 2493-2496, October 1995, doi: 10.1103/PhysRevA.52.R2493.
https://doi.org/10.1103/PhysRevA.52.R2493
[2] D. Gottesman, „Stabilizer codes and quantum error correction,” CalTech Ph.D Thesis, May 1997, doi: 10.48550/arXiv.quant-ph/9705052.
https://doi.org/10.48550/arXiv.quant-ph/9705052
arXiv:quant-ph/9705052
[3] A. R. Calderbank i P. W. Shor, „Good quantum error-correcting codes exist”, Physical Review A, vol. 54, nr 2, s. 1098-1105, sierpień 1996, doi: 10.1103/PhysRevA.54.1098.
https://doi.org/10.1103/PhysRevA.54.1098
[4] A. M. Steane, „Error correcting codes in quantum theory”, Physical Review Letters, vol. 77, no. 5, pp. 793-797, July 1996, doi: 10.1103/PhysRevLett.77.793.
https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.77.793
[5] T. Brun, I. Devetak i M.-H. Hsieh, „Correcting quantum errors with entanglement”, Science, vol. 314, no. 5798, pp. 436-439, October 2006, doi: 10.1126/science.1131563.
https://doi.org/10.1126/science.1131563
[6] Min-Hsiu Hsieh, Igor Devetak, and Todd Brun, „General entanglement-assisted quantum error-correcting codes”, Physical Review A, vol. 76, no. 6, p. 062313, December 2007, doi: 10.1103/PhysRevA.76.062313.
https://doi.org/10.1103/PhysRevA.76.062313
[7] K. Guenda, S. Jitman, and T. A. Gulliver, „Constructions of good entanglement-assisted quantum error correcting codes,” Designs, Codes and Cryptography, vol. 86, no. 1, pp. 121-136, January 2017, doi: 10.1007/s10623-017-0330-z.
https://doi.org/10.1007/s10623-017-0330-z
[8] J. H. Bae, A. Abotabl, H.-P. Lin, K.-B. Song i J. Lee, „ Przegląd kodowania kanałów dla komunikacji komórkowej 5G NR ”, APSIPA Transactions on Signal and Information Processing, vol. 8, s. e17, czerwiec 2019, doi: 10.1017/ATSIP.2019.10.
https://doi.org/10.1017/ATSIP.2019.10
[9] I. Reed, „A class of multiple-error-correcting codes and the decoding scheme,” in Transactions of the IRE Professional Group on Information Theory, vol. 4, no. 4, pp. 38-49, September 1954, doi: 10.1109/TIT.1954.1057465.
https://doi.org/10.1109/TIT.1954.1057465
[10] R. Pellikaan and Xin-Wen Wu, „List decoding of q-ary Reed-Muller codes,” in IEEE Transactions on Information Theory, vol. 50, no. 4, pp. 679-682, April 2004, doi: 10.1109/TIT.2004.825043.
https://doi.org/10.1109/TIT.2004.825043
[11] G. Schnabl i M. Bossert, „Soft-decision decoding of Reed-Muller codes as generalized multiple concatenated codes ”, w IEEE Transactions on Information Theory, vol. 41, nr 1, s. 304-308, styczeń 1995, doi: 10.1109/18.370093.
https://doi.org/10.1109/18.370093
[12] S. Kudekar, S. Kumar, M. Mondelli, H. D. Pfister, E. Şaşoǧlu i R. L. Urbanke, „Reed-Muller Codes Achieve Capacity on Erasure Channels,” w IEEE Transactions on Information Theory, vol. 63, nr 7, s. 4298-4316, lipiec 2017, doi: 10.1109/TIT.2017.2673829.
https://doi.org/10.1109/TIT.2017.2673829
[13] S. Kumar, R. Calderbank i H. D. Pfister, „Reed-muller codes achieve capacity on the quantum erasure channel,” International Symposium on Information Theory, Barcelona, Spain, pp. 1750-1754, July 2016, doi: 10.1109/ISIT.2016.7541599.
https://doi.org/10.1109/ISIT.2016.7541599
[14] A. M. Steane, „Quantum Reed-Muller codes,” w IEEE Transactions on Information Theory, vol. 45, no. 5, pp. 1701-1703, July 1999, doi: 10.1109/18.771249.
https://doi.org/10.1109/18.771249
[15] P. K. Sarvepalli and A. Klappenecker, „Nonbinary quantum Reed-Muller codes,” in Proceedings. International Symposium on Information Theory, Adelaide, SA, Australia, pp. 1023-1027, September 2005, doi: 10.1109/ISIT.2005.1523494.
https://doi.org/10.1109/ISIT.2005.1523494
[16] J. K. Wolf, „An introduction to tensor product codes and applications to digital storage systems”, w 2006 IEEE Information Theory Workshop, Chengdu, str. 6-10, październik 2006, doi: 10.1109/ITW2.2006.323741.
https://doi.org/10.1109/ITW2.2006.323741
[17] S. Bravyi and A. Kitaev, „Universal quantum computation with ideal Clifford gates and noisy ancillas”, Phys. Rev. A, vol. 71, nr 2, s. 022316, luty 2005, doi: 10.1103/PhysRevA.71.022316.
https://doi.org/10.1103/PhysRevA.71.022316
[18] N. Rengaswamy, R. Calderbank, M. Newman i H. D. Pfister, „Classical coding problem from transversal T gates”, International Symposium on Information Theory, Los Angeles, CA, USA, czerwiec 2020, s. 1891-1896, doi: 10.1109/ISIT44484.2020.9174408.
https://doi.org/10.1109/ISIT44484.2020.9174408
[19] P. J. Nadkarni i S. S. Garani, „Coding analog of superadditivity using entanglement-assisted quantum tensor product codes over $\mathbb {F}_{p^k}$, ” w IEEE Transactions on Quantum Engineering, t. 1, s. 1-17, art. nr 2101417, wrzesień 2020, doi: 10.1109/TQE.2020.3027035.
https://doi.org/10.1109/TQE.2020.3027035
[20] P. J. Nadkarni i S. S. Garani, „ Optimal interleavers for classical and quantum tensor product codes ”, w IEEE Communications Letters, vol. 25, nr 11, s. 3478-3482, listopad 2021, doi: 10.1109/LCOMM.2021.3110236.
https://doi.org/10.1109/LCOMM.2021.3110236
[21] E. Abbe, A. Shpilka i M. Ye, „Reed-Muller codes: Theory and algorithms”, w IEEE Transactions on Information Theory, tom 67, nr 6, s. 3251-3277, czerwiec 2021, doi: 10.1109/TIT.2020.3004749.
https://doi.org/10.1109/TIT.2020.3004749
[22] F. J. MacWilliams i N. J. Sloane, „The theory of error-correcting codes,” Elsevier Science, 1978, ISBN: 9780444851932.
[23] M. M. Wilde, „Quantum coding with entanglement”, rozprawa doktorska, Univ. of South. Cal., sierpień 2008, doi: 10.48550/arXiv.0806.4214.
https://doi.org/10.48550/arXiv.0806.4214
[24] P. J. Nadkarni i S. S. Garani, „Non-binary entanglement-assisted stabilizer codes ”, Quantum Inf Process, vol. 20, artykuł nr 256, sierpień 2021, doi: 10.1007/s11128-021-03174-1.
https://doi.org/10.1007/s11128-021-03174-1
[25] J. Wolf, „On codes derivable from the tensor product of check matrices”, IEEE Transactions on Information Theory, vol. 11, no. 2, pp. 281-284, April 1965, doi: 10.1109/TIT.1965.1053771.
https://doi.org/10.1109/TIT.1965.1053771
[26] P. J. Nadkarni and S. S. Garani, „Entanglement assisted binary quantum tensor product codes”, w Proc. IEEE Inf. Theory Workshop, Kaohsiung, s. 219-223, listopad 2017, doi: 10.1109/ITW.2017.8277961.
https://doi.org/10.1109/ITW.2017.8277961
[27] J. Fan, Y. Li, M.-H. Hsieh, and H. Chen, „On quantum tensor product codes”, Quantum Info. Comput., vol. 17, nr 13&14, s. 1105-1122, listopad 2017, doi: 10.48550/arXiv.1605.09598.
https://doi.org/10.48550/arXiv.1605.09598
[28] J. Fan, J. Li, J. Wang, Z. Wei, and M. -H. Hsieh, „ Asymmetric Quantum Concatenated and Tensor Product Codes With Large Z-Distances ”, IEEE Trans. Comm., vol. 69, nr 6, s. 3971-3983, czerwiec 2021, doi: 10.1109/TCOMM.2021.3064566.
https://doi.org/10.1109/TCOMM.2021.3064566
[29] P. Rózsa, „Applied dimensional analysis and modeling” 2nd Ed., Butterworth-Heinemann, 2007, ISBN 978-0-12-370620-1. doi: 10.1016/B978-012370620-1.50007-1.
https://doi.org/10.1016/B978-012370620-1.50007-1
[30] M. Grassl, F. Huber i A. Winter, „Entropic proofs of Singleton bounds for quantum error-correcting codes ”, w IEEE Transactions on Information Theory, tom 68, nr 6, s. 3942-3950, czerwiec 2022, doi: 10.1109/TIT.2022.3149291.
https://doi.org/10.1109/TIT.2022.3149291
[31] P. J. Nadkarni and S. S. Garani, „Entanglement assisted quantum Reed-Solomon codes,” Information Theory and Applications Workshop 2019, San Diego, February 2019.
[32] P. J. Nadkarni and S. S. Garani, „Entanglement-assisted Reed-Solomon codes over qudits: Theory and architecture”, Quantum Inf. Process., vol. 20, art. nr 129, kwiecień 2021, doi: 10.1007/s11128-021-03028-w.
https://doi.org/10.1007/s11128-021-03028-w
[33] P. J. Nadkarni i S. S. Garani, „$\mathbb {F}_p$-Linear and $\mathbb{F}_{p^m}$-Linear Qudit Codes From Dual-Containing Classical Codes,” w IEEE Transactions on Quantum Engineering, vol. 2, s. 1-19, art. nr 2101819, maj 2021, doi: 10.1109/TQE.2021.3078152.
https://doi.org/10.1109/TQE.2021.3078152
[ad_2]